В российской математике произошло заметное событие: найден подход, который позволяет по-новому работать с дифференциальными уравнениями второго порядка с переменными коэффициентами — классом задач, считавшимся принципиально неразрешимым почти 200 лет. О разработке сообщил Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».

В чём заключалась проблема

Речь идёт об уравнениях, которые широко применяются для описания динамических процессов в физике, механике и других естественных науках. Историческое ограничение возникло ещё в 1834 году, когда французский математик Жозеф Лиувилль доказал: решения таких уравнений невозможно выразить через конечный набор стандартных операций и элементарных функций.

На практике это означало отсутствие универсальной формулы. Учёным приходилось либо находить частные решения под конкретные случаи, либо прибегать к приближённым методам. Оба подхода существенно усложняли расчёты и не позволяли создать единый математический инструмент.

Что изменил новый подход

Математик Иван Ремизов из Нижнего Новгорода предложил решение, не противоречащее классической теории, но выходящее за её рамки. Он расширил допустимый набор операций, добавив в него процедуру предельного перехода — нахождение предела последовательности.

В своей работе Ремизов опирается на теорию Чернова и преобразование Лапласа. Это позволило построить универсальную формулу, которая формально даёт решение для любого уравнения данного «нерешаемого» класса, обходя ограничения, сформулированные в XIX веке.

Идея в упрощённом виде

Суть метода можно описать следующим образом: сложный непрерывный процесс разбивается на бесконечное число элементарных шагов. Для каждого такого шага строится простое приближение, корректно описывающее поведение системы в конкретной точке.

По отдельности эти приближения дают лишь грубую картину. Однако при переходе к бесконечному числу шагов они складываются в точное и непрерывное решение уравнения. Таким образом, «несобираемая» задача становится решаемой через предельный процесс.

Почему это важно для науки и техники

Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для описания реальных процессов, но и для задания так называемых специальных функций. К ним относятся, например, функции Матье и Хилла, которые играют ключевую роль:

• в расчётах орбит спутников и космических аппаратов;

• в моделировании движения частиц в ускорителях, включая Большой адронный коллайдер;

• в задачах колебаний, устойчивости и резонансов в физике и инженерии.

Наличие универсального метода решения может значительно упростить вычисления в этих областях и повысить точность моделей.

Публикация и дальнейшее изучение

Более формальное и техническое описание метода доступно на сайте НИУ ВШЭ. Полная версия научной работы на английском языке опубликована во Владикавказский математический журнал.

Итог

Предложенный подход не отменяет классические результаты Лиувилля, но аккуратно обходит их, расширяя математический инструментарий. Если метод получит дальнейшее развитие и практическое применение, он может стать важным шагом к упрощению сложных расчётов в физике, космонавтике и других наукоёмких областях.